1.º Divisibilidad: múltiplos y divisores. Curso de matemáticas online gratuito.

Conceptos de múltiplo y divisor, números primos y compuestos.

En el Capítulo V (Volumen 1 de la serie «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber»), definida la división como operación contraria a la multiplicación, a medida que el dividendo o divisor aumentaban surgió la cuestión de cómo saber rápidamente si un número era divisible por otro, es decir, conocer antes de realizar la operación si se trata de una división exacta. Recuérdese que definimos este tipo de división como toda aquella en la que el resto es 0.

Dado que, como ya se ha recordado, la división es la operación contraria a la multiplicación, surge la necesidad de concretar dos nuevos conceptos: múltiplo y divisor.

Un número m será múltiplo de otro n cuando este número n se encuentre en m un número exacto de veces. Dicho de otra forma, m es múltiplo de n cuando el número m contiene al número n un número exacto de veces. En este caso, se dice que m es divisible por n o que n es divisor de m porque n está contenido en m un número exacto de veces.

Simbólicamente, se puede expresar como:

Por ejemplo, 9 es múltiplo de 3 dado que 9=3+3+3, es decir, 9 contiene a 3 exactamente 3 veces. 20 es múltiplo de 4 dado que  20 contiene a 4 exactamente 5 veces, de tal forma que 20=4+4+4+4+4. Ambos casos se expresan simbólicamente como:

Determinados los conceptos de múltiplo y divisibilidad se aprecia la existencia de números especiales por contener sólo dos números un número determinado exacto de veces: el propio número y la unidad. Es decir, que n se encuentra en m una vez exactamente, dado que m=n.

Por ejemplo, el 3 sólo contiene un número exacto de veces dos números: el 1 y el 3. Lo mismo ocurre con el 2, el 5, el 7 o el 11.

A este tipo de números se les denomina «números primos», y a los casos contrarios se les llama «números compuestos».

Se dice que un número es primo cuando tan sólo es divisible por la unidad y por sí mismo. Por el contrario, se duce que un número es compuesto cuando es divisible por otros números además de la unidad y de sí mismo.

Ejemplos de números compuestos son los anteriores: el 9 (porque además de ser divisible por 1 y 9, también lo es por 3) y el 20 (porque además de ser divisible por 1 y 20 también lo es por 2, 4, 5 y 10).

A partir de un número cualquiera n se puede conocer qué números m son los que le contienen simplemente multiplicando a n por cada número natural desde la unidad.

Por ejemplo, si consideramos que n=5 y queremos conocer qué números le contienen, simplemente lo multiplicamos por 1, 2, 3, 4, 5 y así sucesivamente. Dado que hay infinitos números naturales, el 5, como cualquier otro número, estará contenido en infinitos números:

5∙1=5

5∙2=10

5∙3=15

5∙4=20

y así sucesivamente.

Todos los números múltiplos de 2 se han definido como «números pares», mientras que los que no son múltiplos de 2 se han conceptualizado como «números impares». Así, simbólicamente:

Un número cualquiera m es par ↔ m=2∙n

Un número cualquiera m es impar ↔ m=2∙n+1 o m=2∙n−1

Y, ¿por qué un número es impar si y sólo si m=2∙n+1 ó m=2∙n−1? Porque al ser 2∙n un número par, si le añadimos o quitamos una unidad a un número par siempre obtendremos un número impar.

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