Son 10 las propiedades que podemos demostrar de la divisibilidad. Vamos a ver dos en cada entrada. No obstante, dejo a continuación un índice con cada una de las propiedades para que tengas fácil acceso a la demostración de cada una de ellas.
- Si un número divide a otros varios, también divide a su suma.
- Un número divide a una suma aunque no divida a sus sumandos si la suma de los restos al dividir los sumandos es divisible por ese mismo número.
- Si un número divide a todos los sumandos de una suma salvo a uno, tampoco divide a la suma obteniendo el mismo resto que con el sumando no divisible.
- Si un número divide a otro, también dividirá sus múltiplos.
- Si un número divide a otros dos también dividirá a su diferencia.
- Si un número no es divisor de otros dos pero se obtienen los mismos restos dividirá a su diferencia.
- Si un número divide la suma de dos números y de uno de los sumandos, también dividirá al otro sumando.
- Si un número divide a un sumando pero no a otro, tampoco dividirá su suma.
- Si un número divide al dividendo y al divisor de una división no exacta, también dividirá su resto.
- Si un número divide al divisor y al resto de una división no exacta también dividirá al dividendo.
Primera propiedad de la divisibilidad demostrada
Si un número divide a otros varios, también divide a su suma.
Supongamos un número d que es divisor de otros tres números cualesquiera tales como: x, y, z. Debemos demostrar que d también es divisor del número resultante de la operación x+y+z.
Dado que partimos de la hipótesis de que x, y, z son divisibles por d, tendremos entonces en cada caso lo siguiente:
a) Al dividir x entre d tendremos a, de tal forma que si x:d=a entonces x=a∙d.
b) y:d=b, por lo que y=b∙d.
c) z:d=c, por lo que z=c∙d.
Pongamos las tres igualdades a continuación para mayor claridad:
x=ad
y=bd
z=cd
Al sumar los miembros de cada igualdad tendremos:
x+y+z=ad+bd+cd
Sacamos factor común, propiedad que demostramos en el capítulo V del Volumen I del libro, obtenemos:
x+y+z=d·(a+b+c)
Así, la expresión a la que hemos llegado nos está indicando que la suma x+y+z contiene a d un número exacto de veces tal que a+b+c, por lo que d divide a la suma x+y+z.
Veámoslo con un ejemplo.
Sabemos que 12, 18 y 24 son divisibles por 6, dado que:
12=6∙2
18=6∙3
24=6∙4
Comprobar que 6 divide a la suma 12+18+24.
Dado que conocemos cada uno de los valores que forman la suma:
12+18+24=6∙2+6∙3+6∙4=6∙(2+3+4)=6∙9
De esta forma, la suma de 12+18+24 sí es divisible por 6 dado que dicha suma contiene a 6 exactamente 9 veces.
De forma general, si se trataran de números grandes, sabiendo que dichos números son divisibles por 6 el razonamiento sería como sigue:
12=6∙x
18=6∙y
24=6∙z
12+18+24=6∙x+6∙y+6∙z=6∙(x+y+z)
quedando comprobado que la suma de los tres números también es divisible por 6 pues está contenido exactamente x+y+z veces.
Segunda propiedad de la divisibilidad demostrada
Un número «d» divide a la suma de otros varios, aunque no los divida por separado, si la suma de los restos obtenidos al dividir los números entre «d» es divisible por «d».
Supongamos que los números x, y, z no son divisibles de forma individual por d, por lo que se obtienen sus respectivos restos tales que:
a) Al dividir x:d se obtiene como resto a, es decir, (x−a):d=m.
b) Al dividir y:d se obtiene como resto b, tal que (y−b):d=n.
c) Al dividir z:d se obtiene como resto c, siendo que (z−c):d=ñ.
Sin embargo, sabemos por hipótesis que la suma de los restos a+b+c sí es divisible por d. Ocurre que la suma de x+y+z sí será divisible por d. ¿Por qué?
Sabemos que:
(x−a):d=m → x=md+a
(y−b):d=n → y=nd+b
(z−c):d=ñ → z=ñd+c
Si sumamos las igualdades de cada miembro obtendremos:
x+y+z=md+a+nd+b+ñd+c
Ordenando y sacando factor común:
x+y+z=d(m+n+ñ)+(a+b+c)
Es decir, x+y+z sí es divisible por d dado que d está contenido en dicha suma un número exacto de veces tal que m+n+ñ. Por otro lado, a+b+c también es divisible por d debido a la propia hipótesis que hemos planteado, quedando demostrado que la suma x+y+z será divisible por d aunque los sumandos de forma individual no lo sean siempre que la suma de sus restos sí sea divisible por d.
Veámoslo con un ejemplo.
Tenemos los números 9, 13 y 18 y queremos comprobar si 5 divide a su suma.
Es evidente que 5 no divide a ninguno de los números individualmente dado que:
9=5∙1+4
13=5∙2+3
18=5∙3+3
Así, hemos obtenido los restos 4, 3 y 3. A simple vista se observa que la suma de los restos es 10 que sí es divisible por 5, por lo que también lo será la suma 9+13+18. No obstante, continuando con el mismo razonamiento general anterior, tenemos:
9+13+18=5∙1+4+5∙2+3+5∙3+3=5∙(1+4+2)+(4+3+3)=5∙(1+4+2)+10
La suma de los restos 14+3+3=10 que sí es divisible por 5, por lo que la suma 9+13+18 también será divisible por 5. De hecho:
9+13+18=40
y sabemos que 40 sí es divisible por 5.
Si fueran números más grandes y no conociéramos exactamente los resultados de cada operación, el razonamiento sería así:
9=5∙x+a
13=5∙y+b
18=5∙z+c
9+13+18=5∙x+a+5∙y+b+5∙z+c=5∙(x+y+z)+(a+b+c)
De esta forma, la suma de los números x+y+z será divisible por 5 únicamente si la suma de los restos a+b+c obtenidos al dividirlos individualmente entre 5 es divisible por este mismo número.
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