Este tema está íntimamente relacionado con el tema anterior de las variaciones sin repetición, por lo que, si no lo habéis visto, os lo recomiendo.
Supongamos dos conjuntos A y B tales que tienen el mismo número de elementos. Así, siguiendo con el ejemplo de los temas anteriores, el conjunto A tendría los elementos a, b, c y d, y el conjunto B se mantendría igual con los elementos 1, 2, 3 y 4.
Ahora la cuestión que nos planteamos es, ¿cuántas posibles variaciones sin repetición existen de las aplicaciones resultantes?
Los conjuntos gráficamente son:
Supongamos dos conjuntos A y B tales que tienen el mismo número de elementos. Así, siguiendo con el ejemplo de los temas anteriores, el conjunto A tendría los elementos a, b, c y d, y el conjunto B se mantendría igual con los elementos 1, 2, 3 y 4.
Ahora la cuestión que nos planteamos es, ¿cuántas posibles variaciones sin repetición existen de las aplicaciones resultantes?
Los conjuntos gráficamente son:
Sabemos por la deducción realizada en el tema anterior que para calcular las variaciones sin repetición entre dos conjuntos tenemos:
siendo m el número de elementos del conjunto B y n el número de elementos del conjunto A.
La cuestión es que ahora m y n valen lo mismo, es decir, m=n. Con todo ello, la fórmula anterior se traduce en:
Siendo así que el último factor que se encuentra entre corchetes puede resolverse, ya que:
La cuestión es que ahora m y n valen lo mismo, es decir, m=n. Con todo ello, la fórmula anterior se traduce en:
Siendo así que el último factor que se encuentra entre corchetes puede resolverse, ya que:
De esta forma, la fórmula anterior llegaría siempre hasta a unidad, quedando:
Así, dado que las variaciones sin repetición entre dos conjuntos con n número de elementos se calcula multiplicando desde la unidad hasta ese número n, estableciéndose la definición de n!, quedando:
Así, dado que las variaciones sin repetición entre dos conjuntos con n número de elementos se calcula multiplicando desde la unidad hasta ese número n, estableciéndose la definición de n!, quedando:
Y este concepto de n! ayuda mucho en la simplificación de las operaciones matemáticas.
Recordad que en el siguiente índice tenéis todos los temas tratados sobre aplicaciones entre conjuntos. Accede a la siguiente lección aquí. También puedes acceder a la lección anterior.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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