Si bien en el tema anterior estudiamos el razonamiento de las variaciones con repetición, en esta ocasión veremos el de las variaciones sin repetición, que es de donde obtendremos el concepto de factorial.
Partamos del ejemplo del tema anterior, así podremos ver la diferencia entre las variaciones con repetición y las variaciones sin repetición. Tenemos claro que de cada elemento del conjunto A debe salir una flecha. Ahora bien, si del elemento a sale una flecha hacia el elemento 1, este segundo no podrá recibir ninguna otra flecha.
Continuando con el mismo esquema del tema anterior, en el primer caso, la imagen de a podrá ser 1, 2, 3 ó 4. Como imagen de b podrán ser cualquiera de esos mismos elementos salvo aquél que ya haya recibido una flecha. Esquemáticamente:
¿Observáis alguna propiedad?
Si os fijáis, en la primera columna hay cuatro posibilidades, en la segunda tres y en la tercera dos. Por tanto, ¿cuántas aplicaciones se pueden dar? 4x3x2
Así, desarrollemos este hecho. Sabiendo que el número de elementos del conjunto A son m y el número de elementos del conjunto B son n, ¿cuántas variaciones podremos obtener sin repetición?
Sabiendo que en cada columna se le resta 1 (correspondiente al elemento que recibe la flecha), tendremos:
Partamos del ejemplo del tema anterior, así podremos ver la diferencia entre las variaciones con repetición y las variaciones sin repetición. Tenemos claro que de cada elemento del conjunto A debe salir una flecha. Ahora bien, si del elemento a sale una flecha hacia el elemento 1, este segundo no podrá recibir ninguna otra flecha.
Continuando con el mismo esquema del tema anterior, en el primer caso, la imagen de a podrá ser 1, 2, 3 ó 4. Como imagen de b podrán ser cualquiera de esos mismos elementos salvo aquél que ya haya recibido una flecha. Esquemáticamente:
¿Observáis alguna propiedad?
Si os fijáis, en la primera columna hay cuatro posibilidades, en la segunda tres y en la tercera dos. Por tanto, ¿cuántas aplicaciones se pueden dar? 4x3x2
Así, desarrollemos este hecho. Sabiendo que el número de elementos del conjunto A son m y el número de elementos del conjunto B son n, ¿cuántas variaciones podremos obtener sin repetición?
Sabiendo que en cada columna se le resta 1 (correspondiente al elemento que recibe la flecha), tendremos:
En el ejemplo actual quedaría:
En el próximo tema razonaremos el concepto de factorial y de dónde sale.
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Recordad que en el siguiente índice tenéis todos los temas tratados sobre aplicaciones entre conjuntos. Accede a la siguiente lección aquí. También puedes acceder a la lección anterior.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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