Vamos a analizar los distintos tipos de aplicaciones que se pueden dar entre dos conjuntos: aplicación exhaustiva o
Aplicación exhaustiva
Una aplicación es exhaustiva cuando todos los elementos del conjunto B son imágenes de algún elemento del conjunto A.
Así, por ejemplo, dados los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c} habrá aplicación exhaustiva cuando la relación de correspondencias se corresponda con:
Aplicación exhaustiva
Una aplicación es exhaustiva cuando todos los elementos del conjunto B son imágenes de algún elemento del conjunto A.
Así, por ejemplo, dados los conjuntos A={1,2,3,4} y B={a,b,c} habrá aplicación exhaustiva cuando la relación de correspondencias se corresponda con:
Así, dado que de cada elemento del conjunto A sale una flecha y todos los elementos del conjunto B recibe al menos una flecha, es una aplicación exhaustiva.
Para que esto se produzca es necesario que el número de elementos del conjunto A (definidos como m) sea igual o mayor al número de elementos del conjunto B (que definimos como n). Así, m≥n.
El siguiente ejemplo no es una aplicación exhaustiva, aunque sigue siendo una aplicación según la definición del tema anterior:
Para que esto se produzca es necesario que el número de elementos del conjunto A (definidos como m) sea igual o mayor al número de elementos del conjunto B (que definimos como n). Así, m≥n.
El siguiente ejemplo no es una aplicación exhaustiva, aunque sigue siendo una aplicación según la definición del tema anterior:
Aplicación inyectiva
Una aplicación es inyectiva cuando cada elemento imagen lo es de un solo original, es decir, sale una flecha de cada elemento del conjunto A hacia elementos distintos del conjunto B.
El siguiente ejemplo se trata de una aplicación inyectiva:
Una aplicación es inyectiva cuando cada elemento imagen lo es de un solo original, es decir, sale una flecha de cada elemento del conjunto A hacia elementos distintos del conjunto B.
El siguiente ejemplo se trata de una aplicación inyectiva:
Para que esto se produzca es necesario que el número de elementos del conjunto A (definidos como m) sea igual o menor al número de elementos del conjunto B (que definimos como n). Así, n≥m.
Aplicación biyectiva
Una aplicación será biyectiva cuando es a la vez exhaustiva e inyectiva. Así, la única manera de que tenga lugar es que ambos conjuntos tengan el mismo número de elementos: m=n.
Aplicación biyectiva
Una aplicación será biyectiva cuando es a la vez exhaustiva e inyectiva. Así, la única manera de que tenga lugar es que ambos conjuntos tengan el mismo número de elementos: m=n.
Si una aplicación es biyectiva, ésta tendrá inversa
siendo su representación gráfica a la inversa:
siendo su representación gráfica a la inversa:
Composición de dos aplicaciones
La composición de dos aplicaciones f: A→B y g: B→C tiene como resultado otra aplicación f○g: A→C.
De esta forma, partiendo de los siguientes conjuntos:
La composición de dos aplicaciones f: A→B y g: B→C tiene como resultado otra aplicación f○g: A→C.
De esta forma, partiendo de los siguientes conjuntos:
Así, la composición f○g será:
Pero el resultado no es una aplicación, pues no todos los elementos del conjunto A son origen de algún elemento del conjunto B.
Recordad que en el siguiente índice tenéis todos los temas tratados sobre aplicaciones entre conjuntos. Accede a la siguiente lección aquí. También puedes acceder a la lección anterior.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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