Hemos estudiado en temas anteriores el concepto del conjunto que está formado por sus elementos. Bien, supongamos el siguiente conjunto formado por una serie de elementos desordenados que recolocamos de la siguiente manera:
Estos dos conjuntos son el mismo. Si cuentas los palillos puedes comprobar que hay doce en cada una de sus representaciones, la única diferencia es que en el segundo conjunto están más ordenados.
Así, fijándonos en la segunda representación, podemos observar que hay 3 columnas de palillos y 4 filas. Con todo ello, podemos formar varios subconjuntos dentro de ese conjunto con 3 subconjuntos o con 4 subconjuntos, dependiendo de si los formamos con las columnas o con las filas.
Gráficamente:
Así, en la primera representación hemos formado 4 subconjuntos con 3 elementos cada uno, y en la segunda hemos formado 3 subconjuntos con 4 elementos cada uno.
Fijémonos en la primera representación:
Así, fijándonos en la segunda representación, podemos observar que hay 3 columnas de palillos y 4 filas. Con todo ello, podemos formar varios subconjuntos dentro de ese conjunto con 3 subconjuntos o con 4 subconjuntos, dependiendo de si los formamos con las columnas o con las filas.
Gráficamente:
Así, en la primera representación hemos formado 4 subconjuntos con 3 elementos cada uno, y en la segunda hemos formado 3 subconjuntos con 4 elementos cada uno.
Fijémonos en la primera representación:
Sabemos que ha 12 elementos pues los hemos contado. Ello según la operación de la suma del tema anterior se representaría sombólicamente:
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=12
Pero ésta es una operación muy larga e innecesaria. ¿Y si el conjunto fuera de 1.000 elementos? No sería eficiente.
Sabemos que se pueden formar 4 conjuntos, y que cada uno de ellos está formado por tres elementos, por lo que también se podría calcular lo siguiente:
3+3+3+3=12
Esta operación es más eficiente, pero ocurre lo mismo en el caso de grandes cuantías, sería ineficiente.
Por tanto, sabiendo que tenemos 4 sumandos y que todos son iguales, vamos a inventar la operación de la multiplicación, permitiéndonos realizar cálculos más rápidos y productivos. La vamos a representar con una «x» o un «·».
Así, la nueva operación sería de 4 subconjuntos con 3 elementos cada uno, o 3 columnas por 4 filas:
3x4=12
ó
3·4=12
Con ello, hemos inventado la multiplicación.
Propiedad conmutativa
Ahora bien, se nos plantea la siguiente cuestión. ¿Es lo mismo axb que bxa?
A esta pregunta hemos respondido ya sin quererlo con la representación gráfica uniendo los subconjuntos de las columnas y de las filas. Es decir:
Así, en la primera representación hemos creado 4 subconjuntos de tres elementos cada uno, lo que sería 4·3=12.
En la segunda representación hemos creado 3 subconjuntos de 4 elementos cada uno, es decir, 3·4=12.
De esta forma, si a es el número de filas y b el número de columnas, se concluye afirmativamente que:
a·b=b·a
Propiedad asociativa
Añadamos al conjunto anterior otro igual, quedando:
Ahora resulta que tenemos 2 conjuntos en los que se pueden crear tres subconjuntos en cada uno con 4 elementos.
Así, dado que:
a=n.º de filas
b=n.º de columnas
c=n.º de conjuntos
¿Es lo mismo (a·b)·c que a·(b·c)? Lo que es lo mismo:
¿(4·3)·2=4·(3·2)?
4·3=12 y 12·2=24
3·2=6 y 6·4=24
En cualquier caso, el número de elementos de ambos conjuntos no varía, sólo lo hace la forma en que los contamos (multiplicar primer las filas y las columnas, las filas y los conjuntos o las columnas y los conjuntos), pero el resultado es el mismo pues los elementos de los conjuntos no han variado.
Propiedad distributiva entre suma y multiplicación
¿a·(b+c)=a·b+a·c?
Partiendo de esta nueva situación:
Resulta que tenemos dos conjuntos B y dos conjuntos C.
Así, A es el número de veces que se repiten cada uno de esos conjuntos. Y la cuestión es, ¿es lo mismo sumar los elementos de B y C una vez y multiplicarlo por 2 que multiplicar por 2 los elementos de B por un lado, los elementos de C por otro, y al resultado sumarlo?
La respuesta es sí, pues nuevamente el número de elementos no varía, sino sólo la forma en que los contamos. Así, en este caso:
2·(12+6)=2·12+2·6=36
Recordad que en el siguiente índice tenéis todas las lecciones relacionados con este tema. Puedes acceder a la lección siguiente.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=12
Pero ésta es una operación muy larga e innecesaria. ¿Y si el conjunto fuera de 1.000 elementos? No sería eficiente.
Sabemos que se pueden formar 4 conjuntos, y que cada uno de ellos está formado por tres elementos, por lo que también se podría calcular lo siguiente:
3+3+3+3=12
Esta operación es más eficiente, pero ocurre lo mismo en el caso de grandes cuantías, sería ineficiente.
Por tanto, sabiendo que tenemos 4 sumandos y que todos son iguales, vamos a inventar la operación de la multiplicación, permitiéndonos realizar cálculos más rápidos y productivos. La vamos a representar con una «x» o un «·».
Así, la nueva operación sería de 4 subconjuntos con 3 elementos cada uno, o 3 columnas por 4 filas:
3x4=12
ó
3·4=12
Con ello, hemos inventado la multiplicación.
Propiedad conmutativa
Ahora bien, se nos plantea la siguiente cuestión. ¿Es lo mismo axb que bxa?
A esta pregunta hemos respondido ya sin quererlo con la representación gráfica uniendo los subconjuntos de las columnas y de las filas. Es decir:
Así, en la primera representación hemos creado 4 subconjuntos de tres elementos cada uno, lo que sería 4·3=12.
En la segunda representación hemos creado 3 subconjuntos de 4 elementos cada uno, es decir, 3·4=12.
De esta forma, si a es el número de filas y b el número de columnas, se concluye afirmativamente que:
a·b=b·a
Propiedad asociativa
Añadamos al conjunto anterior otro igual, quedando:
Ahora resulta que tenemos 2 conjuntos en los que se pueden crear tres subconjuntos en cada uno con 4 elementos.
Así, dado que:
a=n.º de filas
b=n.º de columnas
c=n.º de conjuntos
¿Es lo mismo (a·b)·c que a·(b·c)? Lo que es lo mismo:
¿(4·3)·2=4·(3·2)?
4·3=12 y 12·2=24
3·2=6 y 6·4=24
En cualquier caso, el número de elementos de ambos conjuntos no varía, sólo lo hace la forma en que los contamos (multiplicar primer las filas y las columnas, las filas y los conjuntos o las columnas y los conjuntos), pero el resultado es el mismo pues los elementos de los conjuntos no han variado.
Propiedad distributiva entre suma y multiplicación
¿a·(b+c)=a·b+a·c?
Partiendo de esta nueva situación:
Resulta que tenemos dos conjuntos B y dos conjuntos C.
Así, A es el número de veces que se repiten cada uno de esos conjuntos. Y la cuestión es, ¿es lo mismo sumar los elementos de B y C una vez y multiplicarlo por 2 que multiplicar por 2 los elementos de B por un lado, los elementos de C por otro, y al resultado sumarlo?
La respuesta es sí, pues nuevamente el número de elementos no varía, sino sólo la forma en que los contamos. Así, en este caso:
2·(12+6)=2·12+2·6=36
Recordad que en el siguiente índice tenéis todas las lecciones relacionados con este tema. Puedes acceder a la lección siguiente.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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