Una vez definido el concepto de número natural como representación simbólica del número de elementos que forman conjuntos concretos, la cuestión que se nos plantea es cómo se puede simplificar el hecho consistente en que dos o más conjuntos formen uno más grande.
Así, por ejemplo, tenemos los siguientes dos conjuntos A y B:
Al juntar los elementos de ambos en un solo conjunto nos quedaría el C cuya representación gráfica sería:
Ahora bien, ¿cómo podemos representarlo de forma más simple? Estableciendo un sistema de símbolos. Ya hemos definido los símbolos de los números naturales, de tal forma que el conjunto A está formado por 4 elementos y el conjunto B está formado por 3 elementos. Al juntar ambos se forma un nuevo conjunto de 7 elementos.
Esta operación de juntar los elementos de dos conjuntos diferentes formando uno nuevo más grande es lo que se ha denominado «suma» y la representación simbólica es con «+».
Al resultado de la suma se le identifica con el símbolo «=».
Así, arbitrariamente, se ha establecido la operación de la suma mediante un sistema de símbolos concreto y sencillo, de tal forma que:
4+3=7
Es en este momento cuando se observan varias características:
1.ª ¿Es lo mismo sumar al conjunto A el B que hacerlo a la inversa? La respuesta es afirmativa pues siempre saldrá el conjunto C con los mismos elementos. Así, simbólicamente:
4+3=3+4=7
A esta propiedad la denominamos propiedad conmutativa.
Ahora supongamos que en lugar de juntar dos conjuntos queremos hacerlo con tres. Evidentemente habrá que seguir un orden, juntar primero dos y luego el tercero. Así, dados los tres siguientes conjuntos:
El conjunto A está formado por 3 elementos, el conjunto B por 2 y el conjunto C por 1. Así, está clara la operación a realizar:
3+2+1
La cuestión está en que hay que seguir un orden, y puede ser de izquierda a derecha o puede ser otro distinto:
(3+2)+1 ó 3+(2+1)
Así las cosas,
¿Es lo mismo sumar los conjuntos A y B y luego el C que sumar el B y el C y luego el A?
Simbólicamente:
¿(3+2)+1=3+(2+1)?
5+1=3+3=6
Por tanto, se ha demostrado la propiedad asociativa.
Una última cuestión que surge es el del elemento neutro. Es decir, qué ocurre si a un conjunto se le suma otro vacío. Gráficamente:
Simbólicamente:
A+B=A+ø=A
Ya que, en este caso concreto:
3+0=3
Recordad que en el siguiente índice tenéis todas las lecciones relacionados con este tema. Puedes acceder a la lección siguiente.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
Esta operación de juntar los elementos de dos conjuntos diferentes formando uno nuevo más grande es lo que se ha denominado «suma» y la representación simbólica es con «+».
Al resultado de la suma se le identifica con el símbolo «=».
Así, arbitrariamente, se ha establecido la operación de la suma mediante un sistema de símbolos concreto y sencillo, de tal forma que:
4+3=7
Es en este momento cuando se observan varias características:
1.ª ¿Es lo mismo sumar al conjunto A el B que hacerlo a la inversa? La respuesta es afirmativa pues siempre saldrá el conjunto C con los mismos elementos. Así, simbólicamente:
4+3=3+4=7
A esta propiedad la denominamos propiedad conmutativa.
Ahora supongamos que en lugar de juntar dos conjuntos queremos hacerlo con tres. Evidentemente habrá que seguir un orden, juntar primero dos y luego el tercero. Así, dados los tres siguientes conjuntos:
El conjunto A está formado por 3 elementos, el conjunto B por 2 y el conjunto C por 1. Así, está clara la operación a realizar:
3+2+1
La cuestión está en que hay que seguir un orden, y puede ser de izquierda a derecha o puede ser otro distinto:
(3+2)+1 ó 3+(2+1)
Así las cosas,
¿Es lo mismo sumar los conjuntos A y B y luego el C que sumar el B y el C y luego el A?
Simbólicamente:
¿(3+2)+1=3+(2+1)?
5+1=3+3=6
Por tanto, se ha demostrado la propiedad asociativa.
Una última cuestión que surge es el del elemento neutro. Es decir, qué ocurre si a un conjunto se le suma otro vacío. Gráficamente:
Simbólicamente:
A+B=A+ø=A
Ya que, en este caso concreto:
3+0=3
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