Recordemos la expresión utilizada para referirnos al número total de subconjuntos de n elementos que se pueden obtener a partir de un conjunto principal de m elementos que expresábamos así:
1.º Número de subconjuntos de A que se pueden formar estando la m;
2.º Número de subconjuntos de A que se pueden formar sin que esté la m.
Respuesta al 1.º
Sabemos que cada subconjunto debe tener cuatro elementos, pero uno ya lo conocemos que es la m. Así, cada subconjunto estará formado por los siguientes elementos: {m,...,...,...} quedando tres elementos desconocidos.
De esta forma, excluyendo la m del conjunto principal quedarían seis elementos, queriendo formar subconjuntos de tres elementos, teniendo la siguiente expresión y resultado:
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Y llegamos a la conclusión de que esta expresión es:
¿Cómo podemos operar con este tipo de expresiones?
Supongamos el conjunto A formado por los elementos {m,n,q,r,s,t,u} y se quiere saber cuántos subconjuntos posibles de cuatro elementos se pueden formar. Según los temas anteriores tendremos:
Supongamos el conjunto A formado por los elementos {m,n,q,r,s,t,u} y se quiere saber cuántos subconjuntos posibles de cuatro elementos se pueden formar. Según los temas anteriores tendremos:
A partir de aquí, queremos obtener otras dos expresiones que al sumarlas se obtenga como resultado la anterior. Es decir:
Por lógica, sabemos que si cogemos todos los subconjuntos que se pueden formar estando la m a partir del conjunto A y los sumamos a los subconjuntos que se puede formar sin estar la m, obtendremos el total expresado anteriormente.
De esta forma, ya sabemos qué tenemos que calcular:
De esta forma, ya sabemos qué tenemos que calcular:
1.º Número de subconjuntos de A que se pueden formar estando la m;
2.º Número de subconjuntos de A que se pueden formar sin que esté la m.
Respuesta al 1.º
Sabemos que cada subconjunto debe tener cuatro elementos, pero uno ya lo conocemos que es la m. Así, cada subconjunto estará formado por los siguientes elementos: {m,...,...,...} quedando tres elementos desconocidos.
De esta forma, excluyendo la m del conjunto principal quedarían seis elementos, queriendo formar subconjuntos de tres elementos, teniendo la siguiente expresión y resultado:
Respuesta al 2.º
El planteamiento es parecido sólo que en los subconjuntos no está el elemento m, aunque lo excluyamos igualmente del conjunto A. Así, sabiendo que no queremos incluir la m queremos saber cuántos subconjuntos de cuatro elementos se pueden formar a partir de los elementos del principal, del que hemos excluido uno, quedando:
Con todo ello, ya sabemos que:
Con todo ello, de forma general hemos deducido la siguiente expresión:
En el próximo tema lo demostraremos de otra manera diferente.
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