Partiendo de todas las deducciones lógicas y conclusiones alcanzadas en los temas anteriores vamos a continuar con distintas cuestiones de las que vamos a deducir una propiedad muy interesante, cual es cuánto vale 0!.
Hemos razonado la fórmula que nos indica cuántas combinaciones en subconjuntos de n elementos se pueden formar a partir de un conjunto con m elementos:
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
Hemos razonado la fórmula que nos indica cuántas combinaciones en subconjuntos de n elementos se pueden formar a partir de un conjunto con m elementos:
Partiendo de ello, podemos responder a la siguiente pregunta:
¿Cuánto vale «0!»?
1.ª demostración
Así, ahora nos planteamos la siguiente cuestión, si tenemos un conjunto A de m elementos, ¿cuántos subconjuntos de 0 elementos se pueden formar?
Por lógica, sólo se puede formar un subconjunto, que es aquél que tiene 0 elementos y que es, por tanto, un subconjunto vacío, pero tenemos que demostrarlo. Así, tenemos:
Sabemos que un número dividido entre sí mismo es la unidad, es decir que m! entre m! es igual a 1, por lo que:
Con todo ello, para que se dé esa igualdad es necesario que 0! sea igual a la unidad, quedando demostrado su valor.
2.ª demostración
¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con un número igual de elementos al del conjunto principal?
Ésta es la situación extrema contraria, de tal forma que el conjunto principal está formado por m elementos y se quiere saber cuántos subconjuntos de m elementos se pueden formar.
Nuevamente, por lógica, sólo se puede formar un subconjunto con los m elementos del principal. Así, tenemos:
Recordad que en el siguiente índice tenéis todas las lecciones relacionados con este tema. Puedes acceder a la lección siguiente.¿Cuánto vale «0!»?
1.ª demostración
Así, ahora nos planteamos la siguiente cuestión, si tenemos un conjunto A de m elementos, ¿cuántos subconjuntos de 0 elementos se pueden formar?
Por lógica, sólo se puede formar un subconjunto, que es aquél que tiene 0 elementos y que es, por tanto, un subconjunto vacío, pero tenemos que demostrarlo. Así, tenemos:
Sabemos que un número dividido entre sí mismo es la unidad, es decir que m! entre m! es igual a 1, por lo que:
Con todo ello, para que se dé esa igualdad es necesario que 0! sea igual a la unidad, quedando demostrado su valor.
2.ª demostración
¿Cuántos subconjuntos se pueden formar con un número igual de elementos al del conjunto principal?
Ésta es la situación extrema contraria, de tal forma que el conjunto principal está formado por m elementos y se quiere saber cuántos subconjuntos de m elementos se pueden formar.
Nuevamente, por lógica, sólo se puede formar un subconjunto con los m elementos del principal. Así, tenemos:
Así, nuevamente nos encontramos con que 0! es igual a la unidad.
3.ª demostración
¿Cuántos subconjuntos se pueden formar de 0 elementos a partir de un conjunto principal de 0 elementos?
Nuevamente por lógica se deduce que sólo un subconjunto de 0 elementos se pueden formar a partir de un conjunto principal de también 0 elementos. El planteamiento es el siguiente:
3.ª demostración
¿Cuántos subconjuntos se pueden formar de 0 elementos a partir de un conjunto principal de 0 elementos?
Nuevamente por lógica se deduce que sólo un subconjunto de 0 elementos se pueden formar a partir de un conjunto principal de también 0 elementos. El planteamiento es el siguiente:
Así, se ha demostrado que 0!=1.
Recuerda por los temas anteriores que 1!=1, por lo que tanto 0! como 1! valen lo mismo, la unidad.
Recuerda por los temas anteriores que 1!=1, por lo que tanto 0! como 1! valen lo mismo, la unidad.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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