Ya hemos definido en temas anteriores los conjuntos, sus operaciones y propiedades de éstos últimos. Ahora toca dar un paso más hacia la geometría analítica.
Supongamos dos conjuntos A y B:
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Supongamos dos conjuntos A y B:
¿Qué relaciones pares podemos obtener a partir de los elementos de cada uno de ellos? Preguntado de otra manera, ¿qué conjuntos de dos elementos, uno de A y otro de B, se pueden obtener?
A cada uno de estos conjuntos de dos elementos, uno de cada conjunto, se le llama par ordenado, dado que están compuestos por dos elementos.
Así, por ejemplo, es un par ordenado (a,1), otro puede ser (d,3), y así sucesivamente.
Al conjunto de todos los pares ordenados posibles se le denomina Producto Cartesiano. A este conjunto se le representa por una X entre el nombre de ambos conjuntos (en nuestro ejemplo AXB).
Con todo ello, sabiendo que A={a,b,c,d} y B={1,2,3}, el producto cartesiano será:
AXB={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}
La representación gráfica de este producto cartesiano puede ser según dos clases por pura definición y acuerdo entre la comunidad científica:
Diagrama cartesiano
A cada uno de estos conjuntos de dos elementos, uno de cada conjunto, se le llama par ordenado, dado que están compuestos por dos elementos.
Así, por ejemplo, es un par ordenado (a,1), otro puede ser (d,3), y así sucesivamente.
Al conjunto de todos los pares ordenados posibles se le denomina Producto Cartesiano. A este conjunto se le representa por una X entre el nombre de ambos conjuntos (en nuestro ejemplo AXB).
Con todo ello, sabiendo que A={a,b,c,d} y B={1,2,3}, el producto cartesiano será:
AXB={(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)}
La representación gráfica de este producto cartesiano puede ser según dos clases por pura definición y acuerdo entre la comunidad científica:
Diagrama cartesiano
En el eje horizontal se ponen los elementos del conjunto A y en el vertical los del conjunto B. No tiene justificación alguna, es arbitrio, como el lenguaje. Siempre debe haber un grado de arbitrio, lo que se traduce en las definiciones, para poder entendernos. Lo mismo ocurre con el lenguaje.
Diagrama en árbol
Diagrama en árbol
Primero se indican los elementos del conjunto A, y después, de cada uno de ellos, los del conjunto B.
Propiedad
Habréis podido observar que el número de pares ordenados posibles está directamente relacionado con el número de elementos de cada conjunto. En nuestro ejemplo, A tiene 4 elementos y B tiene 3, por lo que el número total de pares ordenados posibles o, dicho de otra forma, el producto cartesiano AXB se compone de 4·3=12 elementos o pares ordenados.
Así, para cualquier producto cartesiano entre dos conjuntos cualesquiera A (con m elementos) y B (con n elementos), el producto cartesiano AXB tendrá m·n elementos o pares ordenados.
Para terminar
Un último hecho es qué ocurre cuando los dos conjuntos del producto cartesiano coinciden en un mismo conjunto, por ejemplo A.
En ese caso el producto cartesiano AXA puede simplificarse a A2.
Partiendo del conjunto anterior A={a,b,c,d} el producto cartesiano AXA=A2 quedará definido por 4·4=16 elementos o pares ordenados tales que:
A2={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,a), (c,b), (c,c), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c), (d,d)}
Puede observarse que cuatro de esos pares ordenados ambos elementos son iguales: (a,a), (b,b), (c,c) y (d,d). A éstos se les llama elementos diagonales, nombre que se debe a su ubicación en el diagrama cartesiano
Propiedad
Habréis podido observar que el número de pares ordenados posibles está directamente relacionado con el número de elementos de cada conjunto. En nuestro ejemplo, A tiene 4 elementos y B tiene 3, por lo que el número total de pares ordenados posibles o, dicho de otra forma, el producto cartesiano AXB se compone de 4·3=12 elementos o pares ordenados.
Así, para cualquier producto cartesiano entre dos conjuntos cualesquiera A (con m elementos) y B (con n elementos), el producto cartesiano AXB tendrá m·n elementos o pares ordenados.
Para terminar
Un último hecho es qué ocurre cuando los dos conjuntos del producto cartesiano coinciden en un mismo conjunto, por ejemplo A.
En ese caso el producto cartesiano AXA puede simplificarse a A2.
Partiendo del conjunto anterior A={a,b,c,d} el producto cartesiano AXA=A2 quedará definido por 4·4=16 elementos o pares ordenados tales que:
A2={(a,a), (a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (b,b), (b,c), (b,d), (c,a), (c,b), (c,c), (c,d), (d,a), (d,b), (d,c), (d,d)}
Puede observarse que cuatro de esos pares ordenados ambos elementos son iguales: (a,a), (b,b), (c,c) y (d,d). A éstos se les llama elementos diagonales, nombre que se debe a su ubicación en el diagrama cartesiano
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