Estimados,
En esta ocasión trataremos otras dos operaciones entre conjuntos: la resta y la diferencia simétrica.
Lo primero que haremos es definir cada operación y deducir posteriormente las propiedades que nacen tras la definición.
Antes de nada debemos bautizar a aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común, siendo el nombre que se les ha dado conjuntos disjuntos. La representación gráfica sería como sigue:
Según este ejemplo de conjuntos disjuntos os pregunto: ¿a qué será igual al intersección entre A y B? Analíticamente:
A∩B=¿?
Espero vuestros comentarios.
Ahora podemos definir la resta.
RESTA
Definición
La resta entre dos conjuntos será un nuevo conjunto cuyos elementos se encuentran en el primero pero no en el segundo.
Así, si tenemos A-B, el resultado estará formado por los elementos que se encuentren en A pero que no se encuentren en el conjunto B.
Si partimos de la siguiente situación:
En esta ocasión trataremos otras dos operaciones entre conjuntos: la resta y la diferencia simétrica.
Lo primero que haremos es definir cada operación y deducir posteriormente las propiedades que nacen tras la definición.
Antes de nada debemos bautizar a aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común, siendo el nombre que se les ha dado conjuntos disjuntos. La representación gráfica sería como sigue:
Según este ejemplo de conjuntos disjuntos os pregunto: ¿a qué será igual al intersección entre A y B? Analíticamente:
A∩B=¿?
Espero vuestros comentarios.
Ahora podemos definir la resta.
RESTA
Definición
La resta entre dos conjuntos será un nuevo conjunto cuyos elementos se encuentran en el primero pero no en el segundo.
Así, si tenemos A-B, el resultado estará formado por los elementos que se encuentren en A pero que no se encuentren en el conjunto B.
Si partimos de la siguiente situación:
En este caso tenemos:
A={a,b,c,d} y B={d,e,f,g}
Dado que la operación consiste en coger los elementos de A y restarle los de B, y sabiendo que a, b, c y d se encuentran en A, y d, e, f y g en B, se aprecia que el elemento d se encuentra tanto en A como en B, por lo que habrá que excluirlo, al igual que los elementos e, f y g que sólo están en B. Así:
A-B={a,b,c}
Por si tanta palabra confunde, ubiquemos los elementos de cada conjunto:
A={a,b,c,d} y B={d,e,f,g}
Dado que la operación consiste en coger los elementos de A y restarle los de B, y sabiendo que a, b, c y d se encuentran en A, y d, e, f y g en B, se aprecia que el elemento d se encuentra tanto en A como en B, por lo que habrá que excluirlo, al igual que los elementos e, f y g que sólo están en B. Así:
A-B={a,b,c}
Por si tanta palabra confunde, ubiquemos los elementos de cada conjunto:
NOTA: Recuérdese que en temas anteriores definíamos el concepto de Universal o U representándolo gráficamente:
Ahora, una vez definida la resta nos preguntamos cuánto vale Universal menos el conjunto de A. Y a ello se le ha denominado Inversa de A:
U-A=A'
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Definición
Una vez definida la operación de la unión, la intersección y la resta, nos damos cuenta de que existe otra posible operación. Con la unión nos quedamos con todos los elementos, con la intersección nos quedamos con todos los elementos que sean parte de los dos conjuntos, y con la resta lo definido anteriormente (quedándonos con los elementos de A que no pertenezcan a B [A-B] y viceversa [B-A].
Pero, ¿nos podemos quedar con todos los elementos que sólo sean parte de A o de B? La respuesta es sí, dado que las operaciones son definiciones. Sólo tendremos que establecer una nueva definición para esta nueva situación.
Partiendo de los conjuntos A y B:
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U-A=A'
DIFERENCIA SIMÉTRICA
Definición
Una vez definida la operación de la unión, la intersección y la resta, nos damos cuenta de que existe otra posible operación. Con la unión nos quedamos con todos los elementos, con la intersección nos quedamos con todos los elementos que sean parte de los dos conjuntos, y con la resta lo definido anteriormente (quedándonos con los elementos de A que no pertenezcan a B [A-B] y viceversa [B-A].
Pero, ¿nos podemos quedar con todos los elementos que sólo sean parte de A o de B? La respuesta es sí, dado que las operaciones son definiciones. Sólo tendremos que establecer una nueva definición para esta nueva situación.
Partiendo de los conjuntos A y B:
Queremos formar un nuevo conjunto constituido por elementos que sólo sean de A o de B, no perteneciendo a los dos conjuntos al mismo tiempo, siendo así que excluiríamos el elemento d.
A esta operación la denominados diferencia simétrica y la representaremos mediante el símbolo Δ.
Así: AΔB={d}
Una nueva cuestión que os planteo: ¿la diferencia simétrica entre A y B es lo mismo que la resta de la unión entre A y B menos su intersección?
Analíticamente: ¿AΔB=A∪B-A∩B?
Para continuar con el siguiente tema haz clic aquí o accede al índice completo sobre los conjuntos.
A esta operación la denominados diferencia simétrica y la representaremos mediante el símbolo Δ.
Así: AΔB={d}
Una nueva cuestión que os planteo: ¿la diferencia simétrica entre A y B es lo mismo que la resta de la unión entre A y B menos su intersección?
Analíticamente: ¿AΔB=A∪B-A∩B?
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