La segunda operación que vamos a definir de los conjuntos es la intersección.
Recuerda que si quieres consultar otro tema puedes acudir al índice.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
Definición
Se ha acordado por la comunidad de científicos que la intersección de dos conjuntos estará formada por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
Simbología
Para abreviar esta operación se ha determinado arbitrariamente que el símbolo a utilizar es ∩.
Así, partiendo de la misma situación que en el ejemplo del tema anterior:
Queremos conocer el resultado de la intersección entre A y B, es decir, que estamos buscando aquél elemento que perteneciendo al conjunto A pertenece al mismo tiempo al conjunto B. Se trata del elemento d.
Simbólicamente:
A∩B={d}
Propiedades
Una vez se ha definido esta operación arbitrariamente a través de la observación, surgen las deducciones lógicas concluyendo una serie de propiedades.
1.ª Propiedad conmutativa: ¿A∩B=B∩A?
Para resolver A∩B primero nos fijamos en los elementos que forman parte del conjunto A, y de ellos descartaremos aquéllos que no estén en el conjunto B, quedando el resultado. Así, A={a,b,c,d} y B={d,e,f,g}
Está claro que de los cuatro elementos de A sólo d se encuentra en B quedando A∩B={d}
Por otro lado, para resolver B∩A nos fijamos primero en los elementos del conjunto B: B={d,e,f,g}, luego en los elementos del conjunto A: A={a,b,c,d}
Así, el único elemento del conjunto B que también se encuentra en el conjunto A es d quedando el mismo resultado anterior.
Se concluye, por tanto, que A∩B=B∩A.
Este razonamiento parece muy básico, pero es la demostración, y son los pasos a seguir para no perderse en la matemática que, con los temas se irá complicando. No debemos perder este buen hacer.
2.ª Propiedad asociativa: (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
Partamos de una nueva situación:
Para resolver (A∩B)∩C primero debemos resolver la intersección que se encuentra dentro del paréntesis: A∩B.
A={a,b,d,e}
B={b,c,d,f}
¿Qué elementos del conjunto A se encuentran en el conjunto B? b y d, por tanto:
A∩B={b,d}
Sabiendo que C={e,d,f,g}, ¿qué elementos de la intersección anterior se encuentran en C? Sólo la d, pues b no está en C.
Así, el resultado de (A∩B)∩C={d}
El procedimiento para resolver A∩(B∩C) es el mismo:
B∩C={d,f}
Pues son los únicos elementos que se encuentran en ambos conjuntos. ¿Se encuentran al mismo tiempo en A?
Dado que A={a,b,d,e} sólo el elemento d se encuentra en la intersección anterior. Por tanto:
A∩(B∩C)={d}
Y puesto que el resultado es el mismo, se cumple la propiedad asociativa.
3.ª Propiedad de la absorción: ¿A∩Ø=Ø?
Para el que no lo recuerde de temas anteriores Ø simboliza un conjunto vacío, es decir, un conjunto sin elementos que lo integren.
Así, partiendo de la siguiente situación:
Puesto que B=Ø y A {a,b,c,d} ¿qué elementos de A se encuentran también en el Conjunto B?
La respuesta es que ninguno, puesto que B es un conjunto vacío que no tiene elementos. Por tanto se cumple la propiedad:
A∩Ø=Ø
Para continuar con el siguiente tema haz clic aquí o accede al índice completo sobre los conjuntos.
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Definición
Se ha acordado por la comunidad de científicos que la intersección de dos conjuntos estará formada por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.
Simbología
Para abreviar esta operación se ha determinado arbitrariamente que el símbolo a utilizar es ∩.
Así, partiendo de la misma situación que en el ejemplo del tema anterior:
Queremos conocer el resultado de la intersección entre A y B, es decir, que estamos buscando aquél elemento que perteneciendo al conjunto A pertenece al mismo tiempo al conjunto B. Se trata del elemento d.
Simbólicamente:
A∩B={d}
Propiedades
Una vez se ha definido esta operación arbitrariamente a través de la observación, surgen las deducciones lógicas concluyendo una serie de propiedades.
1.ª Propiedad conmutativa: ¿A∩B=B∩A?
Para resolver A∩B primero nos fijamos en los elementos que forman parte del conjunto A, y de ellos descartaremos aquéllos que no estén en el conjunto B, quedando el resultado. Así, A={a,b,c,d} y B={d,e,f,g}
Está claro que de los cuatro elementos de A sólo d se encuentra en B quedando A∩B={d}
Por otro lado, para resolver B∩A nos fijamos primero en los elementos del conjunto B: B={d,e,f,g}, luego en los elementos del conjunto A: A={a,b,c,d}
Así, el único elemento del conjunto B que también se encuentra en el conjunto A es d quedando el mismo resultado anterior.
Se concluye, por tanto, que A∩B=B∩A.
Este razonamiento parece muy básico, pero es la demostración, y son los pasos a seguir para no perderse en la matemática que, con los temas se irá complicando. No debemos perder este buen hacer.
2.ª Propiedad asociativa: (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
Partamos de una nueva situación:
Para resolver (A∩B)∩C primero debemos resolver la intersección que se encuentra dentro del paréntesis: A∩B.
A={a,b,d,e}
B={b,c,d,f}
¿Qué elementos del conjunto A se encuentran en el conjunto B? b y d, por tanto:
A∩B={b,d}
Sabiendo que C={e,d,f,g}, ¿qué elementos de la intersección anterior se encuentran en C? Sólo la d, pues b no está en C.
Así, el resultado de (A∩B)∩C={d}
El procedimiento para resolver A∩(B∩C) es el mismo:
B∩C={d,f}
Pues son los únicos elementos que se encuentran en ambos conjuntos. ¿Se encuentran al mismo tiempo en A?
Dado que A={a,b,d,e} sólo el elemento d se encuentra en la intersección anterior. Por tanto:
A∩(B∩C)={d}
Y puesto que el resultado es el mismo, se cumple la propiedad asociativa.
3.ª Propiedad de la absorción: ¿A∩Ø=Ø?
Para el que no lo recuerde de temas anteriores Ø simboliza un conjunto vacío, es decir, un conjunto sin elementos que lo integren.
Así, partiendo de la siguiente situación:
Puesto que B=Ø y A {a,b,c,d} ¿qué elementos de A se encuentran también en el Conjunto B?
La respuesta es que ninguno, puesto que B es un conjunto vacío que no tiene elementos. Por tanto se cumple la propiedad:
A∩Ø=Ø
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