Estimados,
En esta ocasión toca ya analizar las distintas propiedades que pueden tener lugar a partir de dos o más conjuntos, y vamos a comenzar con la que se ha denominado unión.
Lo primero de todo
Definición
La unión entre dos conjuntos estará formada por todos los elementos que pertenezcan a uno u otro conjunto, independientemente de que se encuentren en los dos conjuntos o sólo en uno.
Así, supongamos dos conjuntos A y B tales que:
Queremos determinar el resultado de la unión entre A y B. Lo primero de todo es conocer la simbología. Así, se ha acordado que para la operación de la unión utilizaremos ∪.
La unión entre A y B será:
A∪B={a,b,c,d,e,f,g}
En este caso el elemento d pertenece tanto a A como a B, pero podría ocurrir que los conjuntos no tuvieran ningún elemento en común. Por ejemplo:
En este caso observamos que la d sólo pertenece al conjunto A y ya no al B. Sin embargo, el resultado de la unión entre los dos conjuntos será el mismo que en el caso anterior:
A∪B={a,b,c,d,e,f,g}
Propiedades
Acordada la definición y aceptada por la comunidad, debemos plantearnos algunas cuestiones, y para responderlas nos vamos a fijar en el último ejemplo dado:
1.ª Propiedad conmutativa: ¿A∪B=B∪A?
Es evidente que con la unión de los dos conjuntos obtendremos otro con los mismos elementos que los conforman. Por tanto:
A∪B={a,b,c,d,e,f,g}
B∪A={e,f,g,a,b,c,d}
Tanto en uno como en otro caso se obtienen los mismos elementos, por lo que la igualdad tiene lugar y se cumple la propiedad.
2.ª Propiedad asociativa: ¿(A∪B)∪C=A∪(B∪C)=A∪B∪C?
Partamos de los siguientes conjuntos:
Así, en el primer caso (A∪B)∪C
En primer lugar calculamos (A∪B)={a,b,c,d,e,g}
Posteriormente sólo queda añadir el elemento pendiente de C: (A∪B)∪C={a,b,c,d,e,g,f}
En el segundo caso A∪(B∪C)
(B∪C)={d,e,g,f}
A lo que añadiremos posteriormente los elementos pendientes de A, tal que: A∪(B∪C)={d,e,g,f,a,b,c} obteniendo un nuevo conjunto con los mismos elementos que el anterior.
En el tercer caso, A∪B∪C se seguiría el mismo orden que en el caso (A∪B)∪C obteniéndose el mismo resultado.
En conclusión, sí se cumple la propiedad asociativa.
3.ª Propiedad Modulativa: ¿A=A∪Ø?
Esta propiedad ya la hemos demostrado en entradas anteriores, ya que cualquier conjunto formado por una serie de elementos también tendrá subconjuntos que no contengan ningún elemento, que es el denominado conjunto vacío y se simboliza como Ø.
Así, A∪Ø tendrá como resultado todos los elementos que formen el conjunto A y el conjunto vacío y dado que este segundo no tienen ningún elemento, se produce que el resultante estará formado únicamente con los elementos de A.
Lo mismo ocurrirá en el caso de que hablemos de un conjunto B vacío, ya que:
B es un conjunto vacío pues no contiene ningún elemento:
A∪B=A∪Ø=A
Por tanto, A=A∪Ø
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