Un segundo ejercicio práctico que os propongo con resolución una vez estudiados los temas sobre conjuntos.
Tenemos el siguiente conjunto:
A={1,2,3,4,5}
La relación que tiene lugar es binaria. Recordad el concepto de relación binaria.
Además, sabemos el G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(3,1),(3,3),(5,1),(5,5)}
La tarea es conocer qué propiedades son las que se cumplen.
Propiedad reflexiva: de forma general, debía cumplirse que xRx para todo x∈A. Así, para que se cumpliera esta propiedad deberíamos contar con los siguientes pares ordenados (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) y (5,5). El problema es que no tenemos el par (4,4) por lo que se concluye que no se cumple la propiedad reflexiva.
Propiedad simétrica: que de forma general consiste en que aRb y bRa. Así, se obserga en G (1,3) y (3,1), así como (1,5) y (5,1), siendo el resto de pares ordenados con el propio elemento (1,1), (2,2), (3,3) y (5,5) pudiendo concluirse que sí se cumple con esta propiedad.
Propiedad transitiva: de forma general consistente en que si aRb y bRc entonces aRc. Sin embargo, no puede apreciarse que se den la relación de los dos primeros pares indicados aRb y bRc en G. Por lo que puede afirmarse que se cumple con esta propiedad.
Para analizar este último caso analicemos el siguiente conjunto G derivado del anterior pero habiendo añadido algunos pares ordenados adicionales:
G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(5,1),(5,5)}
En este caso no se cumpliría con la propiedad transitiva, ya que se tiene (1,3) y (3,4) pero no se cuenta con (1,4).
En conclusión, dado que la propiedad reflexiva no se cumple, no hay relación de equivalencia.
Ya hemos terminado con los conjuntos. Lo siguiente son las aplicaciones. Accede al primer tema aquí o accede al índice completo sobre los conjuntos. Si quieres el índice completo de este blog recuerda que tienes el enlace en el menú de arriba.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
Tenemos el siguiente conjunto:
A={1,2,3,4,5}
La relación que tiene lugar es binaria. Recordad el concepto de relación binaria.
Además, sabemos el G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(3,1),(3,3),(5,1),(5,5)}
La tarea es conocer qué propiedades son las que se cumplen.
Propiedad reflexiva: de forma general, debía cumplirse que xRx para todo x∈A. Así, para que se cumpliera esta propiedad deberíamos contar con los siguientes pares ordenados (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) y (5,5). El problema es que no tenemos el par (4,4) por lo que se concluye que no se cumple la propiedad reflexiva.
Propiedad simétrica: que de forma general consiste en que aRb y bRa. Así, se obserga en G (1,3) y (3,1), así como (1,5) y (5,1), siendo el resto de pares ordenados con el propio elemento (1,1), (2,2), (3,3) y (5,5) pudiendo concluirse que sí se cumple con esta propiedad.
Propiedad transitiva: de forma general consistente en que si aRb y bRc entonces aRc. Sin embargo, no puede apreciarse que se den la relación de los dos primeros pares indicados aRb y bRc en G. Por lo que puede afirmarse que se cumple con esta propiedad.
Para analizar este último caso analicemos el siguiente conjunto G derivado del anterior pero habiendo añadido algunos pares ordenados adicionales:
G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(3,1),(3,3),(3,4),(5,1),(5,5)}
En este caso no se cumpliría con la propiedad transitiva, ya que se tiene (1,3) y (3,4) pero no se cuenta con (1,4).
En conclusión, dado que la propiedad reflexiva no se cumple, no hay relación de equivalencia.
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