Continuando con los distintos tipos de relaciones que nos podemos encontrar entre los elementos de uno o varios conjuntos, en esta lección estudiaremos la relación de equivalencia.
En el tema anterior hemos estudiado las relaciones binarias y sus propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
Las relaciones de equivalencia serán todas aquellas relaciones binarias que cumplan las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, por ejemplo, la relación definida en un conjunto de rectas por "ser paralelas" es una relación de equivalencia, ya que una recta es paralela a sí misma (propiedad reflexiva), simétrica y transitiva como hemos visto con los ejemplos del tema anterior.
Supongamos que definimos un conjunto A formado por todos los bolígrafos que tenemos y definimos la siguiente relación: "dos bolígrafos están relacionados si son del mismo color".
Esta relación de equivalencia sirve para clasificar los bolígrafos del mismo color en sus subconjuntos correspondientes separados por cajas. En el exterior de la caja se indica el color de los bolígrafos que hay dentro.
Este ejemplo sirve para determinar que R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A y a∈A. Así, será una clase de equivalencia de representante a, escribiéndose [a], al conjunto de todos los elementos de A que son equivalentes con a.
Si hay un bolígrafo equivalente con a, entonces:
b∈[a]↔bRa
Otro ejemplo. Tenemos un conjunto A={1,2,3,4,5} y R es la relación de equivalencia definida por G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}
Entonces, tendremos que:
[1]={1,3,5}
[2]={2,4}
Para continuar con el siguiente tema haz clic aquí o accede al índice completo sobre los conjuntos.
Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
En el tema anterior hemos estudiado las relaciones binarias y sus propiedades reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva.
Las relaciones de equivalencia serán todas aquellas relaciones binarias que cumplan las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Así, por ejemplo, la relación definida en un conjunto de rectas por "ser paralelas" es una relación de equivalencia, ya que una recta es paralela a sí misma (propiedad reflexiva), simétrica y transitiva como hemos visto con los ejemplos del tema anterior.
Supongamos que definimos un conjunto A formado por todos los bolígrafos que tenemos y definimos la siguiente relación: "dos bolígrafos están relacionados si son del mismo color".
Esta relación de equivalencia sirve para clasificar los bolígrafos del mismo color en sus subconjuntos correspondientes separados por cajas. En el exterior de la caja se indica el color de los bolígrafos que hay dentro.
Este ejemplo sirve para determinar que R es una relación de equivalencia definida en un conjunto A y a∈A. Así, será una clase de equivalencia de representante a, escribiéndose [a], al conjunto de todos los elementos de A que son equivalentes con a.
Si hay un bolígrafo equivalente con a, entonces:
b∈[a]↔bRa
Otro ejemplo. Tenemos un conjunto A={1,2,3,4,5} y R es la relación de equivalencia definida por G={(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5)}
Entonces, tendremos que:
[1]={1,3,5}
[2]={2,4}
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