Éste es el último tipo de relación dentro de las relaciones binarias. Recordad que en el tema anterior estudiamos la relación de equivalencia.
Una relación binaria cualquiera R será de orden cuando se den las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Por ejemplo, está claro que la inclusión conjuntista ⊂ en el conjunto de partes de un conjunto es una relación de orden ya que se cumplen las tres propiedades:
Propiedad reflexiva: A⊂A
Propiedad antisimétrica, ya que si A⊂B y B⊂A se tiene que A=B
Propiedad transitiva, pues si A⊂B y B⊂C entonces se obtiene que A⊂C.
Pongamos un segundo ejemplo por si el anterior no se entiende. Tenemos el conjunto A={1,2,3,4,5} y la relación R definida es " ser menor o igual que". ¿Cumplen las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva?
Propiedad reflexiva: se cumple dado que xRx para cualquier x∈A. Dado que la relación es "ser menor o igual que", se cumple que 1R1, 2R2, 3R3, 4R4 y 5R5, pues todos los elementos son iguales a sí mismos.
Propiedad antisimétrica. también se cumple, dado que estamos hablando de la relación "menor o igual". Así, un elemento cualquiera de A, x, es igual a sí mismo y menor al siguiente. Si resulta que aRb y bRa entonces necesariamente estamos hablando de a=b.
Propiedad transitiva también se cumple, ya que, por ejemplo, 1R2 y 2R3, por lo que 1R3. En palabras, dado que 1 es menor o ogual a 2, y 2 es menor o igual a 3 se cumple que 1 es menor o igual a 3.
Y con esta lección terminamos la teoría de los conjuntos. En posteriores publicaciones realizaremos ejercicios resueltos y en el próximo tema comenzaremos con las aplicaciones entre conjuntos.
Una relación binaria cualquiera R será de orden cuando se den las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva.
Por ejemplo, está claro que la inclusión conjuntista ⊂ en el conjunto de partes de un conjunto es una relación de orden ya que se cumplen las tres propiedades:
Propiedad reflexiva: A⊂A
Propiedad antisimétrica, ya que si A⊂B y B⊂A se tiene que A=B
Propiedad transitiva, pues si A⊂B y B⊂C entonces se obtiene que A⊂C.
Pongamos un segundo ejemplo por si el anterior no se entiende. Tenemos el conjunto A={1,2,3,4,5} y la relación R definida es " ser menor o igual que". ¿Cumplen las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva?
Propiedad reflexiva: se cumple dado que xRx para cualquier x∈A. Dado que la relación es "ser menor o igual que", se cumple que 1R1, 2R2, 3R3, 4R4 y 5R5, pues todos los elementos son iguales a sí mismos.
Propiedad antisimétrica. también se cumple, dado que estamos hablando de la relación "menor o igual". Así, un elemento cualquiera de A, x, es igual a sí mismo y menor al siguiente. Si resulta que aRb y bRa entonces necesariamente estamos hablando de a=b.
Propiedad transitiva también se cumple, ya que, por ejemplo, 1R2 y 2R3, por lo que 1R3. En palabras, dado que 1 es menor o ogual a 2, y 2 es menor o igual a 3 se cumple que 1 es menor o igual a 3.
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Este tema y todas las matemáticas están desarrolladas con más ejercicios resueltos en la serie de libros «Lo que no se enseña de Matemáticas y deberías saber» en formato e-book, kindle y libro impreso tapa blanda. En él se han realizado todas las demostraciones explicando el razonamiento de cada paso lógico.
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