En la publicación anterior hemos definido la correspondencia de A en B. Ahora bien, ¿y si esa correspondencia tuviera lugar de A en A?
A este tipo de correspondencias se les ha denominado relaciones binarias. Recordemos que las correspondencias son un subconjunto del producto cartesiano AXB, por lo que las relaciones binarias serán un subconjunto del producto cartesiano AXA.
Así, por ejemplo, si A={a,b,c} el producto cartesiano AXA={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a)(,c,b),(c,c)} y la relación de correspondencia se denominará relación binaria siendo, por ejemplo, el subconjunto G={(a,a),(a,c),(c,c)}
Si bien para la correspondencia se estableció arbitrariamente la siguiente escritura: f(x)=y
en el caso de las relaciones binarias se acuerda la siguiente:
xRy (x relacionado con y mediante la relación R).
Clasificación de las relaciones binarias
1.ª Reflexiva: se dice que una relación binaria es reflexiva cuando se produce xRx para cualquier x∈A.
Así, en el conjunto anterior A={a,b,c} se produce la siguiente relación binaria concretada en G={(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(c,a),(c,c)}
Puesto que tiene lugar aRa, bRb y cRc se produce xRx para cualquier x∈A.
2.ª Simétrica: una relación binaria será simétrica para todo par ordenado aRb en el que tiene lugar a su vez bRa.
Por ejemplo, se tiene que A={a,b,c,d,e} y el subconjunto G={(a,a),(a,c),(a,e),(b,b),(c,a),(c,c),(e,a),(e,e)}
Esta relación binaria es simétrica puesto que se tiene (a,c) y (c,a), así como (a,e) y (e,a) y el resto de pares son con el propio elemento.
3.ª Antisimétrica: la relación binaria será antisimétrica cuando se produce que aRb y, a su vez, bRa, deduciéndose entonces que a=b.
4.ª Transitiva: una relación será binaria si se produce que aRb y bRc, entonces aRc.
Por ejemplo, si un conjunto está formado por una serie de rectas, y dentro del mismo se observa una relación binaria de rectas paralelas, si la recta a es paralela a b se produce que aRb, y si b es paralela a c entonces bRc, de tal forma que la recta a será paralela a la recta c verificándose que aRc.
Para continuar con el siguiente tema haz clic aquí o accede al índice completo sobre los conjuntos.
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A este tipo de correspondencias se les ha denominado relaciones binarias. Recordemos que las correspondencias son un subconjunto del producto cartesiano AXB, por lo que las relaciones binarias serán un subconjunto del producto cartesiano AXA.
Así, por ejemplo, si A={a,b,c} el producto cartesiano AXA={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a)(,c,b),(c,c)} y la relación de correspondencia se denominará relación binaria siendo, por ejemplo, el subconjunto G={(a,a),(a,c),(c,c)}
Si bien para la correspondencia se estableció arbitrariamente la siguiente escritura: f(x)=y
en el caso de las relaciones binarias se acuerda la siguiente:
xRy (x relacionado con y mediante la relación R).
Clasificación de las relaciones binarias
1.ª Reflexiva: se dice que una relación binaria es reflexiva cuando se produce xRx para cualquier x∈A.
Así, en el conjunto anterior A={a,b,c} se produce la siguiente relación binaria concretada en G={(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(c,a),(c,c)}
Puesto que tiene lugar aRa, bRb y cRc se produce xRx para cualquier x∈A.
2.ª Simétrica: una relación binaria será simétrica para todo par ordenado aRb en el que tiene lugar a su vez bRa.
Por ejemplo, se tiene que A={a,b,c,d,e} y el subconjunto G={(a,a),(a,c),(a,e),(b,b),(c,a),(c,c),(e,a),(e,e)}
Esta relación binaria es simétrica puesto que se tiene (a,c) y (c,a), así como (a,e) y (e,a) y el resto de pares son con el propio elemento.
3.ª Antisimétrica: la relación binaria será antisimétrica cuando se produce que aRb y, a su vez, bRa, deduciéndose entonces que a=b.
4.ª Transitiva: una relación será binaria si se produce que aRb y bRc, entonces aRc.
Por ejemplo, si un conjunto está formado por una serie de rectas, y dentro del mismo se observa una relación binaria de rectas paralelas, si la recta a es paralela a b se produce que aRb, y si b es paralela a c entonces bRc, de tal forma que la recta a será paralela a la recta c verificándose que aRc.
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